Question

已知函数f（x）=x³+2x，若f（cos²θ-2m）+f（2msinθ-2）＜0对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

∵f（x）的定义域为R，
∴f（x）在R上是奇函数且是增函数；
∵f（cos²θ-2m）＜-f（2msinθ-2）=f（2-2msinθ），
∴cos²θ-2m＜2-2msinθ，即cos²θ-2＜2m（1-sinθ），
（1）当sinθ=1时，∴-2＜0恒成立，∴m∈R；
（2）当sinθ≠1即1-sinθ＞0时，有2m＞

cos2θ-2

1-sinθ

=

-sin2θ-1

1-sinθ

，设g(θ)=

-sin2θ-1

1-sinθ

=

-(1-sinθ)2+2(1-sinθ)-2

1-sinθ

=-[(1-sinθ)+

2

1-sinθ

]+2，
∵1-sinθ＞0∴1-sinθ+

2

1-sinθ

≥2

2

当sinθ=1-

2

时取等号，
∴g(θ)≤-2

2

+2，
∴2m＞2-2

2

，∴m＞1-

2

，
综上有：m的取值范围是(1-

2

，+∞）．