Question

某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M，N，交曲线于点P，则△OMN（O为坐标原点）的面积的最小值为    ．

Answer 1

【答案】分析：求导函数，设出P的坐标，确定过点P的切线方程，进而可得M，N的坐标，表示出三角形的面积，利用导数法，即可确定△OMN（O为坐标原点）的面积的最小值．
解答：解：求导函数，可得
设P（m，）（m＞0），则过点P的切线方程为y-（）=×（x-m）
令y=0，则x=，令x=0，则y=1+
∴△OMN（O为坐标原点）的面积为S==
求导函数可得S′=
令S′=0，可得16m⁴+8m²-3=0
∴m=
∴m＞时，函数单调增，0＜m＜时，函数单调减
∴m=时，函数取得极小值且为最小值，最小值为
故答案为：．
点评：本题考查导数知识的运用，解题的关键是确定切线方程，求出三角形的面积，利用导数法求最值，属于中档题．