题目内容

设a+b=1，b＞0，则当a=
 
时，
1
|a|
+
4|a|
b
取得最小值．
分析：根据a+b=1，将
1
|a|
+
4|a|
b
转化为
a
|a|
+
b
|a|
+
4|a|
b
，然后讨论a的符号，利用基本不等式进行求解．
解答：解：∵a+b=1，b＞0，
∴b=1-a＞0，
解得a＜1，由题意知a≠0，∴a＜1且a≠0．
则
1
|a|
+
4|a|
b
=
a+b
|a|
+
4|a|
b
=
a
|a|
+
b
|a|
+
4|a|
b
，
①若0＜a＜1，则
1
|a|
+
4|a|
b
=
a
|a|
+
b
|a|
+
4|a|
b
=1+
b
a
+
4a
b
≥1+2
b
a
?
4a
b
=1+2×2=5，
当且仅当
b
a
=
4a
b
，即b=2a，时取等号，
∵a+b=1，∴解得a=
1
3
时取等号．
②若a＜0，则
1
|a|
+
4|a|
b
=
a
|a|
+
b
|a|
+
4|a|
b
=-1-（
b
a
+
4a
b
）=-1+(-
b
a
-
4a
b
)≥-1+2
(-
b
a
)?(-
4a
b
)
=-1+2×2=3，
当且仅当(-
b
a
)=(-
4a
b
)，即b2=4a2时取等号，解b=-2a
∵a+b=1，∴解得a=-1时取等号，
综上
1
|a|
+
4|a|
b
取得最小值为3，此时a=-1．
故答案为：-1．
点评：本题主要考查基本不等式的应用，利用条件将
1
|a|
+
4|a|
b
转化为
a
|a|
+
b
|a|
+
4|a|
b
是解决本题的关键，注意对a进行讨论，综合性较强，难度较大．
练习册系列答案
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1、设A={x|-1＜x＜1}，B={x|x-a＞0}，若A⊆B，则a的取值范围是（　　）
（2011•江西模拟）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2-x），且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f（x）′＜0，设a=f(-1)，b=f(
1
3
)，c=f(4)则（　　）
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（1）若a=b=1，求f3（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
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（3）若|f4（x）|在[-1，1]上的最大值为
12
，求a，b的值．
设a＞1＞b＞0，则下列不等式中正确的是（　　）
A、（-a）7＜（-a）9
B、b-9＜b-7
C、lg
1
a
＞lg
1
b
D、
1
lna
＞
1
lnb

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