Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，na_n+1=2（a₁+a₂+..+a_n）（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）设数列{b_n}满足b₁=

1

2

，b_n+1=

1

ak

b_n²+b_n，求证：b_n＜1（n≤k）．

Answer 1

分析：（1）把n=1，n=2，n=3，n=4分别代入已知递推公式可求
（2）由已知na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n）=2S_n可得（n-1）a_n=2S_n-1，两式相减可得

an+1

an

=

n+1

n

，利用迭代可求a_n
（3））由（2）得：b₁=

1

2

，b_n+1=

1

k

b_n²+b_n＞b_n＞b_n-1＞…＞b₁＞0，
所以{b_n}是单调递增数列，故要证：b_n＜1（n≤k）只需证b_k＜1即可

解答：解：（1）a₂=2，a₃=3，a₄=4
（2）na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n）①
（n-1）a_n=2（a₁+a₂+…+a_n-1）②，
①-②得：na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，即：na_n+1=（n+1）a_n，

an+1

an

=

n+1

n

所以a_n=a₁•

a2

a1

•

a3

a2

…

an

an-1

=1•

2

1

•

3

2

…•

n

n-1

=n（n≥2），所以a_n=n（n∈N^*）
（3）由（2）得：b₁=

1

2

，b_n+1=

1

k

b_n²+b_n＞b_n＞b_n-1＞…＞b₁＞0，
所以{b_n}是单调递增数列，故要证：b_n＜1（n≤k）只需证b_k＜1
若k=1，则b₁=

1

2

＜1，显然成立；若k≥2，则b_n+1=

1

k

b_n²+b_n＜

1

k

b_nb_n+1+b_n
所以

1

bn+1

-

1

bn

＞-

1

k

，因此：

1

bk

=（

1

bk

-

1

bk-1

）+…+（

1

b2

-

1

b1

）+

1

b1

＞-

k-1

k

+2=

k

k+1

所以b_k＜

k

k+1

＜1，
所以b_n＜1（n≤k）

点评：本题主要考查了利用数列的递推关系实现“项”与“和”之间的转化，利用迭代的方法求数列的通项公式，数列的单调性的运用．