Question

在数列{a_n}中，a₁=-

1

2

，a_n+1=2a_n+n-1，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n+n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和s_n；
（3）比较S_n+1与2Sn（n∈N^*）的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）通过数列的递推关系式，构造新数列，即可证得等比数列；
（2）确定数列的通项公式，利用分组求和，即可求得结论；
（3）作差，分类讨论，确定正负，即可得到结论．

解答：（1）证明：因为a_n+1=2a_n+n-1（n∈N^*），所以a_n+1+（n+1）=2（a_n+n）（n∈N^*），
所以数列{a_n+n}是以a₁+1=

1

2

为首项，2为公比的等比数列；
（2）解：∵数列{a_n+n}是以a₁+1=

1

2

为首项，2为公比的等比数列
∴a_n+n=

1

2

×2^n-1=2^n-2，即a_n=2^n-2-n，
∴数列{a_n}的前n项和为S_n=

1 2 (1-2n)

1-2

-

n(1+n)

2

=2n-1-

n(1+n)

2

-

1

2

；
（3）解：对任意的n∈N^*，S_n+1-2S_n=2n-

(2+n)(1+n)

2

-

1

2

-2[2n-1-

n(1+n)

2

-

1

2

]=

1

2

(n2-n-1)
当n∈N^*时，

1

2

(n2-n-1)是增函数，
n=1时，

1

2

(n2-n-1)=-

1

2

＜0，即S_n+1-2S_n＜0，所以S_n+1＜2S_n；
n=2时，

1

2

(n2-n-1)=

1

2

＞0，即S_n+1-2S_n＞0，所以S_n+1＞2S_n；
n＞2时，

1

2

(n2-n-1)＞

1

2

＞0，即S_n+1-2S_n＞0，所以S_n+1＞2S_n；
综上，当n=1时，S_n+1＜2S_n；当n≥2时，S_n+1＞2S_n．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查大小比较，考查学生的计算能力，属于中档题．