Question

如图，以正方体三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在对角线AB上，点Q在棱CD上．

(1)当P点为AB中点，Q在CD上运动时，探究|PQ|的最小值；

(2)当Q为CD中点，P在AB上运动时，探究|PQ|的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设正方体的棱长为2a，则P(a，a，a)，Q(0，2a，z)． 　　∴．当且仅当z＝a，也就是Q(0，2a，a)位于CD的中点时，PQ最小． 　　(2)依题意设Q(0，2a，a)，P(x，x，2a－x)．所以．当且仅当x＝a，即P(a，a，a)时取等号，此时P位于AB的中点．

提示：

考查空间坐标系中点的坐标求法，两点间距离公式的使用，最值问题的探究能力．(1)当Q点在CD上运动，可设Q(0，2a，z)，当z变化时，即表示Q点在CD上运动，由两点间的距离公式可求；(2)当P在AB上运动时，可设P(x，x，2a－x)，然后同(1)．