Question

（14分）已知，，直线与函数、的图象都相切，且与函数的图象的切点的横坐标为.

(Ⅰ)求直线的方程及的值；

(Ⅱ)若(其中是的导函数)，求函数的最大值；

(Ⅲ)当时，求证：.

Answer 1

解析：(Ⅰ)，

.

∴直线的斜率为，且与函数的图象的切点坐标为.

∴直线的方程为.                        …………………… 2分

又∵直线与函数的图象相切,

∴方程组有一解.

由上述方程消去，并整理得

         ①

依题意，方程①有两个相等的实数根，

解之，得

或

 .                                  …………………… 5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，

                               

 .               …………………… 6分

 .                      …………………… 7分

∴当时，，

当时，.

∴当时，取最大值，其最大值为2. …………………… 10分

(Ⅲ) .   ……… 12分

，

 ，

 .

由(Ⅱ)知当时，

∴当时，，

.

∴ .              ………………………………… 14分