Question

如图，在△ABC中，AB=8，AC=3，∠BAC=60°，以点A为圆心，r=2为半径作一个圆，设PQ为圆A的一条直径．
（Ⅰ）请用表示，用表示；
（Ⅱ）记∠BAP=θ，求的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ），（2分）（4分）
（Ⅱ）∵∠BAC=60°，∠BAP=θ，
∴∠CAP=60°+θ，∵AB=8，AC=3，AP=2
∴=8-6cos（θ+60°）+16cosθ（10分）
==14sin（θ+φ）+8（13分）
（其中）
∴当sin（θ+φ）=1时，的最大值为22．（14分）
分析：（Ⅰ）利用向量的三角形法则可得，
（Ⅱ）由∠BAC=60°，∠BAP=θ，可得∠CAP=60°+θ，
利用向量的数量积的坐标表示可得=8-6cos（θ+60°）+16cosθ
==14sin（θ+φ）+8，利用三角函数知识可求最值．
点评：三角函数与平面向量的综合是高考的热点考查内容，而辅助角公式是解决三角函数的最值的常用的方法，体现了转化的思想在解题中的应用．