Question

在正四面体A-BCD中，E、F分别是BC、AD的中点．
（1）求异面直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）求异面直线BF与DE所成角的余弦值；
（3）求异面直线AB与CD所成角的大小．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设正四面体的棱长为1，取AC中点G，连结EG，DG，得∠EGD是异面直线AB与DE所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AB与DE所成角的余弦值．
（2）连结CF，取CF中点H，连结EH，DH，得∠EHD是异面直线BF与DE所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线BF与DE所成角的余弦值．
（3）取CD中点O，连结AO，BO，推导出CD⊥平面ABO，由此能求出异面直线AB与CD所成角的大小．

解答： 解：（1）设正四面体的棱长为1，
取AC中点G，连结EG，DG，
∵E是BC中点，G是AC中点，∴EG∥AB，
∴∠EGD是异面直线AB与DE所成角（或所成角的补角），
∵DE=DG=

1- 1 4

=

3

2

，EG=

1

2

AB=

1

2

，
∴cos∠DGE=

( 3 2 )2+( 1 2 )2-( 3 2 )2

2× 3 2 × 1 2

=

3

6

．
∴异面直线AB与DE所成角的余弦值为

3

6

．
（2）连结CF，取CF中点H，连结EH，DH，
∵E是BC中点，H是CF中点，∴EH∥BF，
∴∠EHD是异面直线BF与DE所成角（或所成角的补角），
∵DE=

3

2

，EH=

1

2

BF=

3

4

，DH=

1 4 + 3 16

=

7

4

，
∴cos∠EHD=

3 16 + 7 16 - 3 4

2× 3 4 × 7 4

=-

21

21

，
∴异面直线BF与DE所成角的余弦值为

21

21

．
（3）取CD中点O，连结AO，BO，
∵AD=AC，BD=BC，∴AO⊥CD，BO⊥CD，
∴CD⊥平面ABO，∴CD⊥AB，
∴异面直线AB与CD所成角的大小为90°．

点评：本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．