Question

△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a，b，c，且tanA+tanB=

3

tanAtanB-

3

，c=

7

2

，又△ABC的面积为S△ABC=

3 3

2

．求：
（1）角C的大小；
（2）a+b的值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+B），把已知的等式代入求出tan（A+B）的值，再根据内角和定理及诱导公式得到tanC=tan（A+B），进而得出tanC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由（1）求出的C的度数，得到sinC的值，然后由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，根据已知的面积及sinC的值，求出ab的值，接着利用余弦定理表示出cosC，把cosC，c及ab的值代入，求出a²+b²的值，最后利用完全平方公式表示出（a+b）²=a²+b²+2ab，把求出的ab及a²+b²的值代入，开方可得a+b的值．

解答：解：（1）tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3

，…（3分）
又tanC=-tan(A+B)=

3

，…（5分）
则角C为60°；…（6分）
（2）S△ABC=

1

2

absinC，…（7分）
则ab=6…（8分）
而cosC=

a2+b2-c2

2ab

…（9分）
即a2+b2=

73

4

，
即（a+b）²=a²+b²+2ab=

73

4

+12=

121

4

，
则a+b=

11

2

…（10分）

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：两角和与差的正切函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，余弦定理，以及完全平方公式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．