题目内容

设函数f（x）= $数学公式$ x²e^x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[-2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．

解：（1） $\text{[math]}$ …（2分）
令 $\text{[math]}$
∴f（x）的单增区间为（-∞，-2）和（0，+∞）；
单减区间为（-2，0）．…（6分）
（2）令 $\text{[math]}$
∴x=0和x=-2，…（8分）
∴ $\text{[math]}$
∴f（x）∈[0，2e²]…（11分）
∴m＜0…（12分）
分析：（1）q求出导函数，令导函数大于0求出x的范围为递增区间，导函数小于0得到f（x）的递减区间．
（2）令导函数等于0求出根，然后求出根对应的函数值及区间的端点对应的函数值，求出f（x）的值域，得到m的范围．
点评：求函数的单调区间常利用的工具是导数；解决不等式恒成立的问题，一般分离参数转化为求函数的最值．

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设函数f（x）=x²-ax+a+3，g（x）=ax-2a．若存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立，则实数a的取值范围是

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）．
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设函数f（x）=x²+x+aln（x+1），其中a≠0．
（1）若a=-6，求f（x）在[0，3]上的最值；
（2）若f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；
（3）求证：不等式ln

（n∈N^*）恒成立．