题目内容

4．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线AB过F点与抛物线C交抛物线于A、B两点，且AB=6，若AB的垂直平分线交x轴于P点，则|OP|=（　　）
A．3B．4C．5D．6

分析 先根据抛物线方程求出p的值，再由抛物线的性质求出AB的垂直平分线方程，可得到答案．

解答 解：∵抛物线y2=4x，∴p=2，
设经过点F的直线y=k（x-1）与抛物线相交于A、B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），
直线y=k（x-1）代入y2=4x，整理可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
∴x1+x2=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$
利用抛物线定义，AB中点横坐标为x1+x2=|AB|-p=6-2=4．AB中点横坐标为2
∴2+$\frac{4}{{k}^{2}}$=4，∴k=±$\sqrt{2}$
AB中点纵坐标为k，AB的垂直平分线方程为y-k=-$\frac{1}{k}$（x-2），
令y=0，可得x=4，
∴|OP|=4．
故选：B．

点评 本题主要考查了抛物线的性质．属中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，确定AB的垂直平分线方程是关键．

练习册系列答案
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A．$2\sqrt{2}$B．3C．4D．$2\sqrt{2}+1$
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A．1B．2C．$\frac{20}{3}$D．$\frac{6}{5}$
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若点P（x0，y0）满足$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$＞1，则称P在的C（a，b）内部：
（1）证明：直线3x-y+1=0上的点都在C（1，1）的外部；
（2）若点M的坐标为（0，-1），点N在C（1，1）的内部或C（1，1）上，求|$\overrightarrow{MN}$|的最小值；
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A．$（±\sqrt{3}，0）$B．$（0，±\sqrt{3}）$C．$（±\sqrt{3}，0）$或$（±\sqrt{5}，0）$D．$（0，±\sqrt{3}）$或$（±\sqrt{5}，0）$

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