Question

线段AB的两个端点分别为A（3，0），B（0，3），若抛物线y=x²-2ax+a²+1与线段AB有两个不同交点，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由题意可求线段AB所在的直线的解析式为y=-x+3（0≤x≤3），由抛物线与线段所在的线段y=-x+3（0≤x≤3）有两个不同的交点，可得方程x²+（1-2a）x+a²-2=0，在[0，3]上应该有两个不相等的实数根即f（x）=x²+（1-2a）x+a²-2在[0，3]与x轴上有2个交点，结合二次函数的性质可求

解答：解：设线段AB所在的直线的解析式为y=kx+b，
分别把（3，0），（0，3）代入可得，0=3k+b，3=b
解得k=-1，b=3
所以，线段AB所在的直线的解析式为y=-x+3（0≤x≤3）
联立y=-x+3，y=x²-2ax+a²+1，得x²+（1-2a）x+a²-2=0，
因为抛物线与线段所在的线段y=-x+3（0≤x≤3）有两个不同的交点，
所以方程x²+（1-2a）x+a²-2=0，在[0，3]上应该有两个不相等的实数根
令f（x）=x²+（1-2a）x+a²-2
∴

△=(1-2a)2-4(a2-2)＞0 0＜ 2a-1 2 ＜3 f(0)=a2-2≥0 f(3)=a2-6a+10≥0

∴

a＜ 9 4 1 2 ＜a＜ 7 2 a≥ 2 或a≤- 2 a∈R

∴

2

≤a＜

9

4

点评：本题主要考查了直线与曲线的相交关系的应用，解题中要注意解题中的x的范围限制．