Question

已知为空间的一个基底，且， ，，

   （1）判断四点是否共面；

（2）能否以作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量

 

Answer 1

【答案】

（1）四点不共面；   （2）．

【解析】本试题主要是考查了空间向量中四点共面的问题，以及判定空间向量的基底的定义的运用。

（1）假设四点共面，则存在实数使，

且，那么可以根据这个结论得到方程组，求解判定不成立。

（2）利用不同面的三个向量可以充当空间的基底，那么我们可以得到，判定

解：（1）假设四点共面，则存在实数使，

且，

即．…4分

比较对应的系数，得一关于的方程组

解得

与矛盾，故四点不共面；……………6分

   （2）若向量，，共面，则存在实数使，

同（1）可证，这不可能，

因此可以作为空间的一个基底，

令，，，

由，，联立得到方程组，

从中解得………………10分所以