题目内容
（2012•梅州一模）设x，y满足约束条件
，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则
+
的最小值为（ ）
|
| 3 |
| a |
| 4 |
| b |
分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=3，y=4时，z最大值为3a+4b=7．然后利用常数代换结合基本不等式，可得当且仅当a=b=1时，
+
的最小值为7．
| 3 |
| a |
| 4 |
| b |
解答：解：作出不等式组
表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（0，1），C（3，4）
设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，
当l经过点C时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（3，4）=3a+4b=7，可得
（3a+4b）=1
因此，
+
=
（3a+4b）（
+
）=
（25+
+
）
∵
+
≥2
=24
∴
（25+24）≥
×49=7，
即当且仅当a=b=1时，
+
的最小值为7
故选：D
|
得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（0，1），C（3，4）
设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，
当l经过点C时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（3，4）=3a+4b=7，可得
| 1 |
| 7 |
因此，
| 3 |
| a |
| 4 |
| b |
| 1 |
| 7 |
| 3 |
| a |
| 4 |
| b |
| 1 |
| 7 |
| 12b |
| a |
| 12a |
| b |
∵
| 12b |
| a |
| 12a |
| b |
|
∴
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 7 |
即当且仅当a=b=1时，
| 3 |
| a |
| 4 |
| b |
故选：D
点评：本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数z=ax+by最大值为7的情况下求
+
的最小值．着重考查了运用基本不等式求最值和简单的线性规划等知识，属于中档题．
| 3 |
| a |
| 4 |
| b |
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