Question

已知椭圆，常数m、n∈R⁺，且m＞n．
（1）当m=25，n=21时，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于点P，与y轴交于点Q，若，求直线PQ的斜率；
（2）过原点且斜率分别为k和-k（k≥1）的两条直线与椭圆的交点为A、B、C、D（按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内），试用k表示四边形ABCD的面积S；
（3）求S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出椭圆的左焦点，设出P、Q坐标，利用若，和P在椭圆上，求出P、Q坐标，推出直线PQ的斜率；
（2）写出直线l₁：y=kx，l₂：y=-kx与椭圆方程联立，求出A坐标，然后求出四边形ABCD的面积S；
（3）化简S的表达式，，利用的单调性，求出函数S的最大值．
解答：解：（1）∵m=25，n=21，∴．（2分）
设满足题意的点为P（x，y）、Q（0，t）．，
∴（-2，-t）=2（x+2，y），．（4分）
．（5分）
∴．（6分）
（2）∵过原点且斜率分别为k和-k（k≥1）的直线l₁：y=kx，l₂：y=-kx关于x轴和y轴对称，
∴四边形ABCD是矩形．（8分）
设点A（x，y）．
联立方程组于是x是此方程的解，故（10分）
∴．（12分）
（3）．
设，则g（k）在[1，+∞）上是单增函数．（13分）
理由：对任意两个实数k₁、k₂∈[1，+∞），且k₁＜k₂，则
==．（14分）
∵m＞n＞0，k₂＞k₁≥1，∴k₁k₂＞1，mk₁k₂-n＞0．又k₁-k₂＜0，
∴．
∴g（k）在[1，+∞）上是单增函数，于是g（k）_min=g（1）=m+n．（16分）
∴．
∴．（18分）
点评：本题考查直线的斜率，直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生分析问题解决问题的能力，是难度较大题目．