Question

已知椭圆 （常数m、n∈R⁺，且m＞n）的左右焦点分别为F₁，F₂ ，M、N为短轴的两个端点，且四边形F₁MF₂N是边长为2的正方形．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过原点且斜率分别为k和-k（k≥2）的两条直线与椭圆 的交点为A、B、C、D（按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内），求四边形ABCD的面积S的最大值．．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意：，∴，
所求椭圆方程为．（3分）
（Ⅱ）设A（x，y）．
由得．（6分）
根据题设直线图象与椭圆的对称性，知（8分）
．（9分）
∴．
设，则，当k≥2时，
∴M（k）在k∈[2，+∞）时单调递增，∴，（11分）
∴当k≥2时，．（12分）
分析：（Ⅰ）由，得，由此能得到所求椭圆方程．
（Ⅱ）设A（x，y）．由得．根据题设直线图象与椭圆的对称性，知
．由此能求出四边形ABCD的面积S的最大值．
点评：本题考查椭圆的方程的求法和四边形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．