Question

设O为△ABC所在平面内一点．若实数x、y、z满足x+y+z=0，（x²+y²+z²≠0），则“xyz=0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer 1

【答案】分析：画出草图，根据已知条件x+y+z=0移项得x+y=-z，再由xyz=0，推出x，y，z只有一个为0，再根据三角形的性质进行求解；
解答：解：∵O为△ABC所在平面内一点．实数x、y、z满足x+y+z=0（x²+y²+z²≠0），
∴x+y=-z，
若xyz=0”则x、y、z中只能有一个为0，（否则若x=y=0，可推出z=0，这与x²+y²+z²≠0矛盾）
假设x=0（y、z不为0），可得y=-z，∴，
∴向量和共线，∴O只能在△ABC边BC上；
若点O在△ABC的边所在直线上，假设在边AB上，说明向量和共线，
∴z=0，
∴xyz=0，
∴“xyz=0”是“点O在△ABC的边所在直线上”的充要条件；
故选C．
点评：此题以三角形和平面的向量为载体，考查了必要条件和充分条件的定义及其判断，是一道基础题．