Question

对于n∈N^*（n≥2），定义一个如下数阵：
其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，a_ij=1；当i不能整除j时，a_ij=0．
（Ⅰ）当n=4时，试写出数阵A₄₄；
（Ⅱ）设．若[x]表示不超过x的最大整数，
求证：=．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，a_ij=1；当i不能整除j时，a_ij=0可得数阵A₄₄；
（Ⅱ）t（j）是数阵A_nn的第j列的和，则是数阵A_nn所有数的和，按行相加，根据数阵A_nn的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为，可证得结论．
解答：解：（Ⅰ）依题意可得，…（4分）
（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵A_nn的第j列的和，
因此是数阵A_nn所有数的和．
而数阵A_nn所有数的和也可以考虑按行相加．
对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…，．
因此数阵A_nn的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为．
所以=．…（13分）
点评：本题主要考查了数列的求和，以及新定义，解题的关键是弄清数阵A_nn的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为，属于中档题．