Question

13．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），值域为R，对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y），当x＞1时f（x）＜0且f（3）=-1．
（1）求f（1）、f（9）、f（$\frac{1}{9}$）的值．
（2）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，x=y=3，即可求得f（1）、f（$\frac{1}{9}$）的值；
（2）当x＞1时，f（x）＜0，确定函数单调性，根据函数的单调性把f（kx）+f（2-x）根据条件转化为f[kx（2-x）]，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式有解，分离参数转化我求函数的最值问题．

解答 解：（1）令x=y=1易得f（1）=0．
f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2
f（9）+f（$\frac{1}{9}$）=f（1）=0，得f（$\frac{1}{9}$）=2．
（2）设0＜x₁＜x₂，由条件（1）可得f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
因$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，所以知f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，
所以f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）在R₊上是递减的函数．
不等式f（kx）+f（2-x）＜2可化为kx（2-x）＞$\frac{1}{9}$且0＜x＜2，
得k＞$\frac{1}{9x（2-x）}$，此不等式有解，等价于k＞[$\frac{1}{9x（2-x）}$]_min，
在0＜x＜2的范围内，易知x（2-x）_max=1，
故k＞$\frac{1}{9}$即为所求范围．

点评 考查利用函数单调性的定义探讨抽象函数的单调性问题，对于解决抽象函数的一般采用赋值法，求某些点的函数值和证明不等式等，体现了转化的思想，属中档题．