Question

点P是为焦点的双曲线上的一点，已知，，O为坐标原点。

（1）求双曲线的离心率；

（2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于两点，且，求双曲线E的方程；

（3）若过点Q（m，0）（m为非零常数）的直线与（2）中的双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（为非零实数），问在轴上是否存在定点G使？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵，，

∴，

∵，∴，∴。

（2）由（1）知双曲线的方程可设为，渐近线方程

设

 ∵，

∵

∵点P在双曲线上，

∴

化简得，∴，∴

∴双曲线方程为。

（3）设在轴上存在定点G（t，0），使

①若直线轴，（确保直线与双曲线E有两个不同交点）

时，则有，且对轴上任一点G，

，

②若直线不垂直轴，设直线： ，，

联立得

，

∵，

的充要条件为

由得，∴，

又∵，

∴

∴

∴

∴

∴

综上，在轴上存在一点，使得。