Question

【题目】已知函数， ， ．

（1）若，且存在单调递减区间，求实数的取值范围；

（2）设函数的图象与函数的图象交于点， ，过线段的中点作轴的垂线分别交， 于点， ，证明： 在点处的切线与在点处的切线不平行．

Answer 1

【答案】（1）．（2）见解析.

【解析】试题分析：（1），则 ，所以有解，即有的解，所以，所以的取值范围为；（2）设点、的坐标分别为， ，则点， 的横坐标为， 在点处的切线斜率为， 在点处的切线斜率为，由反证法证明得在点处的切线与在点处的切线不平行．

试题解析：

（1）时， ，则 ，

因为函数存在单调递减区间，所以有解，

又因为，则有的解，

所以，

所以的取值范围为．

（2）设点、的坐标分别为， ， ，

则点， 的横坐标为， 在点处的切线斜率为，

在点处的切线斜率为，

假设在点处的切线与在点处的切线平行，则，即，

则，

所以，设，则， ，①

令， ，则，

因为时， ，所以在上单调递增，故，

则，这与①矛盾，假设不成立，

故在点处的切线与在点处的切线不平行．