Question

已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.

(1)确定函数f(x)的解析式；

(2)当x∈(－1,1)时判断函数f(x)的单调性，并证明；

(3)解不等式f(2x－1)＋f(x)<0.

Answer 1

解析：　(1)由题意可知f(－x)＝－f(x)，

又∵f＝，∴a＝1，

∴f(x)＝.

(2)当x∈(－1,1)时，函数f(x)是单调递增的．

证明如下：设任意的－1<x₁<x₂<1，

则f(x₁)－f(x₂)＝

＝.

∵－1<x₁<x₂<1，

∴x₁－x₂<0,1－x₁x₂>0.

又1＋x>0,1＋x>0，

∴<0，

即f(x₁)－f(x₂)<0，∴函数f(x)为增函数．

(3)∵f(2x－1)＋f(x)<0，

∴f(2x－1)<－f(x)．

又f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，

∴f(2x－1)<f(－x)，

∴∴0<x<，

∴不等式f(2x－1)＋f(x)<0的解集为.