Question

用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的长比宽多0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：设容器的底面宽为x m，则长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m，由解得：0＜x＜1.6． 　　设容积为y m3，则有 　　y＝x(x＋0.5)(3.2－2x) 　　＝－2x3＋2.2x2＋1.6x． 　　＝－6x2＋4.4x＋1.6， 　　令＝0，即－6x2＋4.4x＋1.6＝0， 　　解得x＝1或x＝(舍去)． 　　∵在定义域内只有一个点x＝1使＝0， 　　所以当x＝1时，y取得最大值ymax＝1.8，此时高为3.2－2＝1.2 m．因此，容器高为1.2 m时容器的容积最大，最大容积为1.8 m3． 　　分析：要使容器的容积最大，必须先用变量表示出容积的一个目标函数，总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，那么过一个顶点的三条棱的长度和为3.2 m． 　　点评：在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较．