Question

20、已知点（1，2）是函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的图象上一点，数列{a_n}的前n项和是S_n=f（n）-1．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若b_n=log_aa_n+1，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）把点（1，2）代入函数解析式中求得a，然后可得数列前n项和的表达式，进而利用a_n=S_n-S_n-1，求得a_n．
（II）把（I）中的a_n代入b_n中求得数列{a_n•b_n}的通项公式，然后利用错位相减法求得数列的前n项的和．

解答：解：（I）把点（1，2）代入函数f（x）=a^x得a=2，
所以数列{a_n}的前n项和为S_n=f（n）-1=2ⁿ-1
当n=1时，a₁=S₁=1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1
对n=1时也适合∴a_n=2^n-1
（II）由a=2，b_n=log_aa_n+1得b_n=n，
所以a_nb_n=n•2^n-1
T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²++n•2^n-1①
2T_n=1•2¹+2•2²+3•2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ②
由①-②得：-T_n=2⁰+2¹+2²++2^n-1-n•2ⁿ
所以T_n=（n-1）2ⁿ+1．

点评：本题主要考查了数列的通项公式和前n项的和．考查了学生对数列知识的综合把握．