Question

已知两定点F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，满足条件|

PF2

|-|

PF1

|=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点．如果

|AB|

=6

3

且曲线E上存在点C，使

OA

+

OB

=m

OC

求m的值和△ABC的面积S．

Answer 1

分析：先判断曲线E形状，求出曲线E的方程，直线AB方程代入，利用判别式及根与系数关系求出直线AB斜率范围，利用弦长公式求出斜率k的值，得到直线AB方程．设出点C的坐标，依据条件用m表示点C的坐标，再代入曲线E的方程求得m值，点C到直线AB的距离为高，计算三角形面积．

解答：解：由双曲线的定义可知，
曲线E是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)为焦点的双曲线的左支，
且c=

2

，a=1，易知b=1
故曲线E的方程为x²-y²=1（x＜0）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意建立方程组

y=kx-1 x2-y2=1

消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0
又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，
有

1-k2≠0 △=(2k)2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

解得-

2

＜k＜-1
又∵|AB|=

1+k2

•|x1-x2|
=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( -2k 1-k2 )2-4× -2 1-k2

=2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

依题意得2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

=6

3

整理后得28k⁴-55k²+25=0
∴k2=

5

7

或k2=

5

4

但-

2

＜k＜-1
∴k=-

5

2

故直线AB的方程为

5

2

x+y+1=0
设C（x_c，y_c），由已知

OA

+

OB

=m

OC

，得（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx_c，my_c）
∴(mxc，myc)=(

x1+x2

m

，

y1+y2

m

)，（m≠0）
又x1+x2=

2k

k2-1

=-4

5

，y1+y2=k(x1+x2)-2=

2k2

k2-1

-2=

2

k2-1

=8
∴点C（

-4 5

m

，

8

m

）
将点C的坐标代入曲线E的方程，得

80

m2

-

64

m2

=1
得m=±4，但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴m=4，C点的坐标为(-

5

，2)C到AB的距离为

| 5 2 ×(- 5 )+2+1|

( 5 2 )2+12

=

1

3

∴△ABC的面积S=

1

2

×6

3

×

1

3

=

3

．

点评：本题主要考查双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力．