Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若存在与函数的图象都相切的直线，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为，（2）[﹣1，+∞）

【解析】

（1）先求导数，再根据导函数零点讨论导函数符号，即得单调区间；

（2）设函数上点与函数上点处切线相同，分别求得导数和切线的斜率，可得﹣++﹣2＝0,利用导数研究方程有解条件，可得a的范围．

（1）当时，，

时，；时，；

因此函数的单调增区间为，单调减区间为，

（2）设函数上点与函数上点处切线相同，

则＝＝，

所以＝＝，

所以＝﹣，代入＝得：

﹣++﹣2＝0（*）

设﹣++﹣2

则

不妨设＝0（＞0），

则当0＜＜时，＜0，当＞时，＞0，

所以在区间（0，）上单调递减，在区间（，+∞）上单调递增，

代入＝﹣2，

可得min＝＝2+2﹣+ln﹣2，

设＝2+2﹣+ln﹣2，，

则＝2+2++＞0对＞0恒成立，

所以在区间（0，+∞）上单调递增，又＝0，

所以当0＜＜1时≤0，即当0＜≤1时≤0，

又当x＝ea+2时F（x）＝﹣+lnea+2﹣a+﹣2＝（﹣a）2≥0，

因此当0＜≤1时，函数必有零点；

即当0＜≤1时，必存在使得（*）成立；

即存在，，使得函数上点与函数上点处切线相同．

又由y＝﹣2x得y′＝﹣﹣2＜0，

所以y＝﹣2x在（0，1）单调递减，

因此＝﹣2∈[﹣1，+∞），

所以实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．