题目内容

设m∈Z,已知关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0,①

x2-4mx+4m2-4m-5=0.②

试求方程①和②的根都是整数的充要条件.

方程①②有实根的充要条件是

∵m∈Z,∴m=-1,0,1.

当m=-1时,方程①为x2+4x-4=0,无整数根;

当m=0时,方程②为x2-5=0,无整数根;

当m=1时,方程①为x2-4x+4=0,方程②变为x2-4x-5=0,两个方程均有整数根,从而,①和②均有整数根m=1,反之,m=1①和②均有整数根.

∴方程①和②均有整数值的充要条件是m=1.

练习册系列答案
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已知函数f（x）=ax2+4x+b，（a＜0，b＜0，a，b∈Z），设关于x的方程f（x）=x的两实数根为α，β，且|α-β|=1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）问是否存在实数m，n（m＜n），使得f（x）的定义域和值域都是[m，n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
已知二次函数f（x）=x2+mx+1（m∈z），且关于x的方程f（x）=2在区间(-3，
12
)内有两个不同的实根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g(x)=m-|x2-1|-k，若g（x）有且仅有两个零点，求k的取值范围．
已知a∈R，且α≠kπ+
π
2
，k∈Z设直线l：y=xtanα+m，其中m≠0，给出下列结论：
①l的倾斜角为arctan（tanα）；
②l的方向向量与向量
a
=(cosα，sinα)共线；
③l与直线xsinα-ycosα+n=0（n≠m）一定平行；
④若0＜a＜
π
4
，则l与y=x直线的夹角为
π
4
-α；
⑤若α≠kπ+
π
4
，k∈Z，与l关于直线y=x对称的直线l'与l互相垂直．
其中真命题的编号是
②④
②④
（写出所有真命题的编号）
已知函数f（x）=loga（x+1）（a＞1），函数g（x）的图象与函数y=
3
2
+
ax-
3
4
（a＞1）的图象关于直线y=x对称．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）若函数g（x）在区间[m，n]  (m＞
3
2
)上的值域为[loga（p+3m），loga（p+3n）]，求实数p的取值范围；
（3）设函数F（x）=af（x）-g（x）（a＞1），试用列举法表示集合M={x|F（x）∈Z}．

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