Question

如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE=2，AC=AA₁=4，∠E=
60°，点B为DE的中点。

（1）求证：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁；
（2）设二面角A₁-BC-A的大小为α，直线AC与平面A₁BC所成的角为β，求sin（α+β）的值。

Answer 1

（1）证明：在平行四边形ACDE中， ∵AE=2，AC=4，∠E=60°，点B为DE的中点， ∴∠ABE=60°，∠CBD=30°， 从而∠ABC=90°，即AB⊥BC， 又面ABC，面ABC， ∴，而， ∴BC⊥平面， 又平面， ∴平面⊥平面。
（2）解：由（1）可知，AB⊥BC， ∴为二面角的平面角，即=α， 在中，， ，， 过点A在平面内作于F，连结CF， 则由平面平面，且平面平面， 得AF⊥平面， ∴∠ACD为直线AC与平面所成的角，即∠ACD=β， 在Rt△ACF中，， ， ∴， 即。