Question

如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0），P是侧棱AA₁上的动点．
（1）当AA₁=AB=AC时，求证：A₁C⊥平面ABC₁；
（2）试求三棱锥P-BCC₁的体积V取得最大值时的t值．

Answer 1

分析：（1）先证明AC₁⊥A₁C，再证明AB⊥平面AA₁C₁C，可得AB⊥AC₁，利用线面垂直的判定定理，可得结论；
（2）确定点P到平面BB₁C₁C的距离等于点A到平面BB₁C₁C的距离，表示出三棱锥P-BCC₁的体积，利用导数方法求最值．

解答：（1）证明：∵AA₁⊥面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥AB
又∵AA₁=AC，∴四边形AA₁C₁C是正方形，∴AC₁⊥A₁C．
∵AB⊥AC，AB⊥AA₁，AA₁，AC?平面AA₁C₁C，AA₁∩AC=A，
∴AB⊥平面AA₁C₁C．
又∵AC₁?平面AA₁C₁C，
∴AB⊥AC₁，
∵AB，AC₁?平面ABC₁，AB∩AC₁=A
∴A₁C⊥平面ABC₁．---（5分）
（2）解：∵AA₁∥平面BB₁C₁C，∴点P到平面BB₁C₁C的距离等于点A到平面BB₁C₁C的距离
∴V=VP-BCC1=VA-BCC1=VC1-ABC=

1

6

t2(3-2t)=

1

2

t2-

1

3

t3(0＜t＜

3

2

)，----（9分）
V'=-t（t-1），令V'=0，得t=0（舍去）或t=1，列表，得

t	（0，1）	1	(1， 3 2 )
V'	+	0	-
V	递增	极大值	递减

∴当t=1时，Vmax=

1

6

．---（12分）

点评：本小题主要考查线面垂直，考查三棱锥的体积，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识．