题目内容

（2012•泉州模拟）如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AA1+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0），P是侧棱AA1上的动点．
（Ⅰ）当AA1=AB=AC时，求证：A1C⊥平面ABC1；
（Ⅱ）试求三棱锥P-BCC1的体积V取得最大值时的t值；
（Ⅲ）若二面角A-BC1-C的平面角的余弦值为
10
10
，试求实数t的值．
分析：（Ⅰ）证法一：利用线面垂直的判定证明，即证AC1⊥A1C，AB⊥AC1；
证法二：建立空间直角坐标系，证明
A1C
⊥
AC1
，
A1C
⊥
AB
；
证法三：建立空间直角坐标系，求出平面ABC1的法向量
n
=(0，-1，1)，利用
A1C
=-
n
，证明A1C⊥平面ABC1；
（Ⅱ）先判断P到平面BB1C1C的距离等于点A到平面BB1C1C的距离，利用等体积转化，求出三棱锥P-BCC1的体积，利用导数的方法，求最大值；
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，求出平面ABC1的法向量
n1
=(0，2t-3，t)，平面BCC1的法向量
n2
=(1，1，0)，利用向量的夹角公式及二面角A-BC1-C的平面角的余弦值为
10
10
，可求实数t的值．
解答：（Ⅰ）证法一：∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB．
又∵AA1=AC，∴四边形AA1C1C是正方形，
∴AC1⊥A1C．…（1分）
∵AB⊥AC，AB⊥AA1，AA1，AC?平面AA1C1C，AA1∩AC=A，
∴AB⊥平面AA1C1C．…（2分）
又∵AC1?平面AA1C1C，∴AB⊥AC1．…（3分）
∵AB，AC1?平面ABC1，AB∩AC1=A，
∴A1C⊥平面ABC1．…（4分）
证法二：∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB．
又∵AB⊥AC，∴分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．…（1分）

则A（0，0，0），C1（0，1，1），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），
∴
A1C
=(0，1，-1)，
AC1
=(0，1，1)，
AB
=(1，0，0)，
∴
A1C
•
AC1
=0，
A1C
•
AB
=0，…（2分）
∴
A1C
⊥
AC1
，
A1C
⊥
AB
．…（3分）
又∵AB，AC1?平面ABC1，AB∩AC1=A∴A1C⊥平面ABC1．…（4分）
证法三：∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB．
又∵AB⊥AC，
∴分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．…（1分）

则A（0，0，0），C1（0，1，1），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），
∴
A1C
=(0，1，-1)，
AC1
=(0，1，1)，
AB
=(1，0，0)．
设平面ABC1的法向量
n
=(x，y，z)，
则
n
•
AC1
=y+z=0
n
•
AB
=x=0
，解得
x=0
y=-z
．
令z=1，则
n
=(0，-1，1)，…（3分）
∵
A1C
=-
n
，∴A1C⊥平面ABC1．…（4分）
（Ⅱ）解：∵AA1∥平面BB1C1C，∴点P到平面BB1C1C的距离等于点A到平面BB1C1C的距离
∴V=VP-BCC1=VA-BCC1=VC1-ABC=
1
6
t2(3-2t)=
1
2
t2-
1
3
t3(0＜t＜
3
2
)，…（5分）
∴V'=-t（t-1），令V'=0，得t=0（舍去）或t=1，
列表，得
（0，1） 1 (1，
3
2
)
V' + 0 -
V 递增 极大值 递减
∴当t=1时，Vmax=
1
6
．…（8分）
（Ⅲ）解：分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），C1（0，t，3-2t），B（t，0，0），C（0，t，0），A1（0，0，3-2t），
∴
A1C
=(0，t，2t-3)，
AC1
=(0，t，3-2t)，
AB
=(t，0，0)，
CC1
=(0，0，3-2t)，
BC
=(-t，t，0)．…（9分）
　
设平面ABC1的法向量
n1
=(x1，y1，z1)，
则
n1
•
AC1
=ty1+(3-2t)z1=0
n1
•
AB
=tx1=0
，解得
x1=0
y1=
2t-3
t
z1
，
令z1=t，则
n1
=(0，2t-3，t)．…（10分）
设平面BCC1的法向量
n2
=(x2，y2，z2)，则
n2
•
BC
=-tx2+ty2=0
n2
•
CC1
=(3-2t)z2=0
．
由于0＜t＜
3
2
，所以解得
x2=y2
z2=0
．
令y2=1，则
n2
=(1，1，0)．…（11分）
设二面角A-BC1-C的平面角为θ，则有|cosθ|=
|
n1
•
n2
|
|
n1
|•|
n2
|
=
|2t-3|
2
•
t2+(2t-3)2
=
10
10
．
化简得5t2-16t+12=0，解得t=2（舍去）或t=
6
5
．
所以当t=
6
5
时，二面角A-BC1-C的平面角的余弦值为
10
10
．…（13分）
点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识．
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12
的下方，求a的取值范围；
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1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)=（　　）

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