Question

已知函数f（x）=x²﹣alnx在（1，2]是增函数，在（0，1）为减函数．
（1）求f（x）、g（x）的表达式；
（2）求证：当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解；
（3）当b＞﹣1时，若在x∈（0，1]内恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

解：（1），
依题意f'（x）≥0，x∈（1，2]恒成立，
即a≤2x²，x∈（1，2]恒成立．
∴a≤ 2①
又，依题意恒成立g'（x）≤0，x∈（0，1），
即 ，x∈（0，1）恒成立．
∴a≥2． ．②
由①②得a=2．
∴．
（2）由f（x）=g（x）+2知，
方程，
设，
则=，
令h'（x）=0，并由x＞0，得x=1．
列表分析：

x（0，1）1（1，+∞）h'（x）﹣0+h（x）递减0递增知h（x）在x=1处有一个最小值0，
∴当x＞0且x≠1时，h（x）＞0，
∴h（x）=0在（0，+∞）上只有一个解．
即当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解．      
（3）解法一：∵在x∈（0，1]恒成立，
∴x²﹣2lnx在x∈（0，1]内恒成立，
∴在x∈（0，1]内恒成立…③
令（x∈（0，1]），
则
∴x∈（0，1]时，m'（x）＜0，
∴m（x）在（0，1]是减函数，
∴[m（x）]_min=m（1）=2
由③知2b≤[m（x）]_min=2，
∴b≤1
又b＞﹣1，
所以：﹣1＜b≤1为所求范围．
解法二：设，
则x∈（0，1]时，
=
∴φ（x）在（0，1]为减函数，
∴φ（x）_min=φ（1）=1﹣2b+1≥0，
∴b≤1
又b＞﹣1，
所以：﹣1＜b≤1为所求范围 ．