Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，F是A₁C₁的中点，连接FB₁，AB₁，FA
（1）求证：平面FAB₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）求证：直线BC₁∥平面AB₁F．

Answer 1

分析：（1）利用正三棱柱的性质可得AA₁⊥底面A₁B₁C₁，因此AA₁⊥B₁F．利用正三角形的性质及F是边A₁C₁的中点，可得B₁F⊥A₁C₁．利用线面垂直的判定定理可得B₁F⊥平面ACC₁A₁，再利用面面垂直的判定可得平面AFB₁⊥平面ACC₁A₁．
（2）连接A₁B交AB₁于G点，连接FG，根据四边形ABB₁A₁为平行四边形得到A₁G=BG，又因A₁F=C₁F则FG∥BC₁，又FG?平面AFB₁，BC₁?平面AFB₁根据线面平行的判定定理可知BC₁∥平面AFB₁．

解答：解：（1）由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可得AA₁⊥底面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥B₁F．
由F是正△A₁B₁C₁的A₁C₁的中点，∴B₁F⊥A₁C₁．
又A₁A∩A₁C₁=A₁，∴B₁F⊥平面ACC₁A₁，
∴平面FAB₁⊥平面ACC₁A₁．
（2）证明：连接A₁B交AB₁于G点，连接FG
∵四边形ABB₁A₁为平行四边形∴A₁G=BG
又∵A₁F=C₁F∴FG∥BC₁
又∵FG?平面AFB₁
BC₁?平面AB₁F
∴BC₁∥平面AB₁F

点评：本题综合考查了正三棱柱的性质、线面垂直与平行的判定与性质、面面垂直的判定定理、三角形的中位线定理、矩形的性质等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力．