题目内容
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
•
=
•
=k(k∈R且k≠0)．
（Ⅰ）证明△ABC为等腰三角形；
（Ⅱ）若k=2，求c的值．
| AB |
| AC |
| BA |
| BC |
（Ⅰ）证明△ABC为等腰三角形；
（Ⅱ）若k=2，求c的值．
分析：（I）根据向量数量积的定义，化简题中向量等式得bcosA=acosB，利用正弦定理和两角差的正弦公式算出sin（A-B）=0，得到A=B从而得a=b，所以△ABC为等腰三角形．
（II）由（I）的结论，利用余弦定理算出
•
=
，结合k=2得到关于c的方程，解之即得边c的长．
（II）由（I）的结论，利用余弦定理算出
| AB |
| AC |
| c2 |
| 2 |
解答：解：（I）根据向量数量积的定义，得
•
=cbcosA，
•
=cacosB
∵
•
=
•
，
∴cbcosA=cacosB，得bcosA=acosB
利用正弦定理，化简得sinBcosA=sinAcosB
即sinAcosB-sinBcosA=0，可得sin（A-B）=0…（5分）
∵-π＜A-B＜π，∴A-B=0，得A=B，可得a=b
因此，△ABC为等腰三角形．…（7分）
（II）由（I）的结论，可得
•
=bccosA=bc•
=
…（10分）
∵k=2，∴
=2，解之得c=2…（12分）
| AB |
| AC |
| BA |
| BC |
∵
| AB |
| AC |
| BA |
| BC |
∴cbcosA=cacosB，得bcosA=acosB
利用正弦定理，化简得sinBcosA=sinAcosB
即sinAcosB-sinBcosA=0，可得sin（A-B）=0…（5分）
∵-π＜A-B＜π，∴A-B=0，得A=B，可得a=b
因此，△ABC为等腰三角形．…（7分）
（II）由（I）的结论，可得
| AB |
| AC |
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| c2 |
| 2 |
∵k=2，∴
| c2 |
| 2 |
点评：本题给出三角形满足的向量等式，判断三角形的形状并依此求边c的长．着重考查了向量数量积的定义、余弦定理解三角形等知识，属于中档题．
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在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2-a2=
bc，且b=
a，则下列关系一定不成立的是（ ）
| 3 |
| 3 |
| A、a=c |
| B、b=c |
| C、2a=c |
| D、a2+b2=c2 |