Question

（2012•盐城三模）若不等式|ax³-lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a取值范围是

[

e2

3

，+∞)

．

Answer 1

分析：令g（x）=ax³-lnx，求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值，利用最小值大于等于1，即可确定实数a取值范围．

解答：解：显然x=1时，有|a|≥1，a≤-1或a≥1．
令g（x）=ax³-lnx，g′(x)=3ax2-

1

x

=

3ax3-1

x

①当a≤-1时，对任意x∈（0，1]，g′(x)=

3ax3-1

x

＜0，g（x）在（0，1]上递减，g（x）_min=g（1）=a≤-1，此时g（x）∈[a，+∞），|g（x）|的最小值为0，不适合题意．
②当a≥1时，对任意x∈（0，1]，g′(x)=

3ax3-1

x

=0，∴x=

3	1 3a

函数在（0，

3	1 3a

）上单调递减，在（

3	1 3a

，+∞）上单调递增
∴|g（x）|的最小值为g(

3	1 3a

)=

1

3

+

1

3

ln(3a)≥1，解得：a≥

e2

3

．
∴实数a取值范围是[

e2

3

，+∞)

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键．