Question

（2013•龙泉驿区模拟）已知函数f（x）=lnx．
（1）求函数g（x）=f（x）-x的最大值；
（2）若?x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用导数的正负，即可确定函数的单调区间，从而可求h（x）的最大值；
（2）f（x）≤ax≤x²+1对一切x∈（0，+∞）恒成立，等价于

a≥ lnx x a≤x+ 1 x

对一切x∈（0，+∞）恒成立，分离参数，求出函数的最值，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）g（x）=f（x）-x=lnx-x（x＞0），则g′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

．
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，则g（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（1，+∞）上单调递减，
所以，g（x）在x=1处取得最大值，且最大值为-1．     …（3分）
（2）由条件得

a≥ lnx x a≤x+ 1 x

在x＞0上恒成立．
设h（x）=

lnx

x

，则h′（x）=

1-lnx

x2

．
当x∈（0，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，
所以，h（x）≤

1

e

．
要使f（x）≤ax恒成立，必须a≥

1

e

．
另一方面，当x＞0时，x+

1

x

≥2，要使ax≤x²+1恒成立，
必须a≤2．
所以，满足条件的a的取值范围是[

1

e

，2]．            …（7分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．