题目内容

设
a
，
b
为不共线的两个向量，且
a
+2
b
与2
a
-
b
垂直，
a
-
b
与
a
垂直，则
a
与
b
的夹角的余弦值为
10
5
10
5
．
分析：设
a
与
b
的夹角为θ，由题意可得2
a
2+3
a
•
b
-2
b
2=0  ①
a
2-
a
•
b
=0   ②联立可解得|
b
|=
10
2
|
a
|，代入②式由向量的运算可得cosθ
解答：解：设
a
与
b
的夹角为θ，
∵
a
+2
b
与2
a
-
b
垂直，
a
-
b
与
a
垂直，
∴（
a
+2
b
）•（2
a
-
b
）=2
a
2+3
a
•
b
-2
b
2=0  ①
（
a
-
b
）•
a
=
a
2-
a
•
b
=0   ②
联立①②可得
b
2=
5
2
a
2，|
b
|=
10
2
|
a
|，
代入②可得|
a
|2-|
a
|•|
b
|cosθ=|
a
|2-
10
2
|
a
|2cosθ=0，
解之可得cosθ=
10
5

故答案为：
10
5
点评：本题考查数量积与向量的夹角的关系，涉及向量的垂直关系，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
设a、b是不共线的两个非零向量，
（1）若
OA
=2a-b，
OB
=3a+b，
OC
=a-3b，求证：A、B、C三点共线．
（2）若8a+kb与ka+2b共线，求实数k的值；
（3）设
OM
=ma，
ON
=nb，
OP
=α a+β b，其中m、n、α、β均为实数，m≠0，n≠0，若M、P、N三点共线，
求证：
α
m
+
β
n
=1．
设
a
，
b
是不共线的两个向量，已知
AB
=2
a
+k
b
，
BC
=
a
+
b
，若A，B，C三点共线，则k的值为
2
2
．
设
a
，
b
是不共线的两个向量，已知
AB
=2
a
+m
b
，
BC
=
a
+
b
，
CD
=
a
-2
b
．若A，B，D三点共线，则m的值为（　　）

设a、b是不共线的两个非零向量，已知＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A、B、D三点共线，则p的值为(　　)

A．1            B．2 

C．－2          D．－1

 

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