Question

已知点A，B的坐标分别是（0，-1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积-．
（1）求点M轨迹C的方程；
（2）若过点D（2，0）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点D、F（E在D、F之间），试求△ODE与△ODF面积之比的取值范围（O为坐标原点）．

Answer 1

【答案】分析：（1）设M（x，y），∵，∴，整理后就得到动点M的轨迹方程．
（2）设l的方程为，将①代入，解得，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则，令λ=，且0＜λ＜1．由此可求出△ODE与△ODF面积之比的取值范围是．
解答：解：解：（1）、设M（x，y），∵，∴，
整理得动点M的轨迹方程为．
（2）由题意知直线l的斜率存在，设l的方程为
将①代入，得l的方程为（2k²+1）x²-8k²x+（8k²-2）=0，由△＞0，解得．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则
令λ=，且0＜λ＜1．
由②得，，
∴，即
∵，且，∴，且．
解得，且，∵0＜λ＜1，∴且．
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．
点评：本题综合考查椭圆的性质及其应用，难度较大．在解题时要认真审题，仔细解答．