题目内容

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1（2+a_n）=2a_n（n∈N^*），
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n（n≥2），试判断T_n与2的大小，并说明理由．

解：（Ⅰ）由a_n+1（2+a_n）=2a_n（n∈N^*），得 $\text{[math]}$ ，
∵a₁=1，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ． …（3分）
又由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴{ $\text{[math]}$ }是以1为首项， $\text{[math]}$ 为公差的等差数列，
∴ $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ （n-1）= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ． …（7分）
（Ⅱ）T_n＜2．证明如下：…（8分）
当n≥2时，a_n-1a_n= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =4（ $\text{[math]}$ ），…（10分）
∴T_n=4[（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ ）]=4（ $\text{[math]}$ ）=2- $\text{[math]}$ ＜2…（15分）
分析：（Ⅰ）由a_n+1（2+a_n）=2a_n（n∈N^*），得 $\text{[math]}$ ，代入计算可求a₂，a₃，a₄的值，确定{ $\text{[math]}$ }是以1为首项， $\text{[math]}$ 为公差的等差数列，可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）确定数列的通项，利用裂项法求和，可判断T_n与2的大小．
点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查裂项法求数列的和，属于中档题．