Question

设函数f(x)的定义域为R，对任意实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＞0时f(x)＜0且f(3)＝－4．

(1)求证：f(x)为奇函数；

(2)在区间[－9，9]上，求f(x)的最值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：令x＝y＝0，得f(0)＝0 　　令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x) 　　∴f(x)是奇函数 　　(2)解：1°，任取实数x1、x2∈[－9，9]且x1＜x2，这时，x2－x1＞0， 　　f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x1)＝－f(x2－x1) 　　因为x＞0时，f(x)＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0 　　∴f(x)在[－9，9]上是减函数 　　故f(x)的最大值为f(－9)，最小值为f(9)． 　　而f(9)＝f(3＋3＋3)＝3f(3)＝－12，f(－9)＝－f(9)＝12． 　　∴f(x)在区间[－9，9]上的最大值为12，最小值为－12．