Question

已知函数f（x）=-x²+2ax+1-a，
（1）若a=2，求f（x）在区间[0，3]上的最小值；
（2）若f（x）在区间[0，1]上有最大值3，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）通过a=2，求出函数f（x）的对称轴，然后求解在区间[0，3]上的最小值；
（2）一函数的对称轴x=a，讨论对称轴是否在区间内，利用f（x）在区间[0，1]上有最大值3，求实数a的值．

解答：解：（1）若a=2，则f（x）=-x²+4x-1=-（x-2）²+3
函数图象开口向下，对称轴为x=2，
所以函数f（x）在区间[0，2]上是增加的，在区间[2，3]上是减少的，
有又f（0）=-1，f（3）=2∴f（x）_min=f（0）=-1…（3分）
（2）对称轴为x=a
当a≤0时，函数在f（x）在区间[0，1]上是减少的，则f（x）_max=f（0）=1-a=3，即a=-2；…（6分）
当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[0，a]上是增加的，在区间[a，1]上是减少加的，则f(x)max=f(a)=a2-a+1=3，解得a=2或-1，不符合；…（9分）
当a≥1时，函数f（x）在区间[0，1]上是增加的，则f（x）_max=f（1）=-1+2a+1-a=3，解得a=3；…（12分）
综上所述，a=-2或a=3…（13分）

点评：本题考查二次函数的对称轴，闭区间上的最值的应用，考查计算能力．