题目内容

19．已知直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）的两个交点为A、B．
（1）求直线l的倾斜角；
（2）求弦AB的长．

分析 （1）首先，将该直线的参数方程化为普通方程，然后确定其斜率即可；
（2）将曲线C的参数方程化为普通方程，然后，借助于椭圆与直线的位置关系处理思路，联立方程组，求解交点坐标，然后，借助于两点之间的距离公式确定其弦长即可．

解答 解：（1）由直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），得
$\sqrt{3}x$-y-2$\sqrt{3}$=0，
设该直线的倾斜角为θ，
∴直线l的斜率为tanθ=$\sqrt{3}$，
∵0≤θ＜π，
∴直线l的倾斜角θ=$\frac{π}{3}$．
（2）根据曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），得
$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{4}=1$，
联立方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-2）}\\{9{x}^{2}+4{y}^{2}=36}\end{array}\right.$，
7x2-16x+4=0，
∴x=$\frac{2}{7}$或x=2，
∴y=-$\frac{12\sqrt{3}}{7}$或y=0，
∴A（$\frac{2}{7}$，-$\frac{12\sqrt{3}}{7}$），B（2，0），
∴|AB|=$\sqrt{（\frac{2}{7}-2）^{2}+（-\frac{12\sqrt{3}}{7}-0）^{2}}$
=$\frac{24}{7}$，
∴|AB|=$\frac{24}{7}$．

点评 本题重点考查了直线和椭圆的参数方程和普通方程的互化，直线与椭圆的位置关系、两点间的距离公式等知识，属于中档题．

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