Question

已知数列{a_n}为等差数列，公差d≠0，其中ak1，ak2，…，akn恰为等比数列，若k₁=2，k₂=5，k₃=11，
（1）求等比数列{akn}的公比q
（2）试求数列{k_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，

a

2 5

=a2•a11，即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+10d)，解方程 可求q
（2）由题意可得，akn=a1+(kn-1)d=(kn+1)d，akn=a2•2n-1=3d•2n-1可求k_n，利用分组求和，结合等比数列的求和公式可求

解答：解：（1）由题意可得，

a

2 5

=a2•a11
即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+10d)
解得a₁=2d或 d=0（舍去）（4分）
∴公比q=

a5

a2

=

6d

3d

=2（6分）
（2）由等差数列的通项可得，akn=a1+(kn-1)d=(kn+1)d…①
又∵akn=a2•2n-1=3d•2n-1…②
由①②得kn=3•2n-1-1，n∈N^*（10分）
∴Sn=(3•1-1)+(3•21-1)+…+(3•2n-1-1)=3(1+2+…+2n-1)-n
=3（2ⁿ-1）-n=3•2ⁿ-n-3（14分）

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的基本运算，及等比数列的求和公式的应用，属于数列知识的综合应用