题目内容
数列{an}满足an+2an=2an+1（n∈N*），且a1=1，a2=2，则数列{an}的前2011项的乘积为（ ）
分析：由an+2•an=2an+1①得an+1•an-1=2an（n≥2）②，两式相乘可得 an+2•an-1=4，从而可求a1•a2…a6=26，利用乘积函数的周期性可以确定答案．
解答：解：∵an+2an=2an+1，①
∴an+1•an-1=2an（n≥2）②
①•②得：an+2•an-1=4（n≥2），
∴a1•a4=4，
a2•a5=4，
a3•a6=4，
…
∴a1•a2…a6=43=26，a7•a8•…a12=26，…
∴a1•a2…a2011=（26）335•a1=（26）335•1=22010．
故选B．
∴an+1•an-1=2an（n≥2）②
①•②得：an+2•an-1=4（n≥2），
∴a1•a4=4，
a2•a5=4，
a3•a6=4，
…
∴a1•a2…a6=43=26，a7•a8•…a12=26，…
∴a1•a2…a2011=（26）335•a1=（26）335•1=22010．
故选B．
点评：本题考查数列的递推关系，解题的关键是把已知的关系式向下顺推一次，两式相乘，得到an+2•an-1=4（n≥2），再利用由一般到特殊的思想，得到连续六项之积为定值，从而使问题解决．
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