Question

（2013•珠海二模）已知两定点M（-1，0），N（1，0），若直线上存在点P，使得|PM|+|PN|=4，则该直线为“A型直线”．给出下列直线，其中是“A型直线”的是

①④

．
①y=x+1  ②y=2  ③y=-x+3 ④y=-2x+3．

Answer 1

分析：点P的轨迹方程是

x2

4

+

y2

3

=1，把①，②，③，④分别和

x2

4

+

y2

3

=1联立方程组，如果方程组有解，则这条直线就是“A型直线”．

解答：解：由题意可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是

x2

4

+

y2

3

=1，
①把y=x+1代入

x2

4

+

y2

3

=1并整理得，7x²+8x-8=0，∵△=8²-4×7×（-8）＞0，∴y=x+1是“A型直线”；
②把y=2代入

x2

4

+

y2

3

=1，得

x2

4

=-

1

3

不成立，∴y=2不是“A型直线”；
③把y=-x+3代入

x2

4

+

y2

3

=1并整理得，7x²-24x+24=0，△=（-24）²-4×7×24＜0，∴y=-x+3不是“A型直线”；
④把y=-2x+3代入

x2

4

+

y2

3

=1并整理得，19x²-48x+24=0，∵△=（-48）²-4×19×24＞0，∴y=-2x+3是“A型直线”．
答案：①④．

点评：本题是新定义题，考查了椭圆的定义及标准方程，考查了数学转化思想方法及方程思想方法，解答此题的关键是把问题转化为判断直线方程与椭圆方程联立的方程组是否有解，属中档题．