题目内容

如图所示，F₁、F₂分别是椭圆 $数学公式$ 的左、右焦点，M为椭圆上一点，MF₂垂直于x轴，且OM与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过F₂有与OM垂直的直线交椭圆于P、Q两点，若 $数学公式$ ，求椭圆的方程．

解：（1）∵M为椭圆上一点，MF₂垂直于x轴，∴M（c， $\text{[math]}$ ）
∵OM与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行，
∴ $\text{[math]}$
∴b=c
∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（2）由（1）得 $\text{[math]}$ ，b=c
联立方程组 $\text{[math]}$ ，消元可得5y²-2 $\text{[math]}$ cy-2c²=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁+y₂= $\text{[math]}$ ，y₁y₂=- $\text{[math]}$
∴|y₁-y₂|= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴c²=b²=25，a²=50
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$
分析：（1）确定M的坐标，利用OM与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行，得到斜率相等，由此即可求得椭圆的离心率；
（2）由（1）得 $\text{[math]}$ ，b=c，联立方程组 $\text{[math]}$ ，消元可得5y²-2 $\text{[math]}$ cy-2c²=0，利用韦达定理，计算三角形的面积，利用已知条件即可求得椭圆的方程．
点评：本题考查椭圆的性质，考查椭圆的标准方程，联立方程组，利用韦达定理，计算三角形的面积是关键．

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如图所示，F₁，F₂分别为椭圆C：

=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点到F₁，F₂两点的距离之和为4且b=

．
（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C的焦点F₂作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F₁PQ的面积．

如图所示，F₁、F₂分别为椭圆C：

=1 (a＞b＞0)的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点(1，

)到F₁、F₂两点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的焦点F₂作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F₁PQ的面积．

如图所示，F₁、F₂分别为椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点（1，

）到F₁、F₂两点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点M是椭圆上的动点N（0，

），求|MN|的最大值．
（3）过椭圆C的焦点F₂作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F₁PQ的面积．

如图所示，F₁、F₂分别为椭圆C：

=1 (a＞b＞0)的左、右两个焦点，A、B为两个顶点；已知顶点B(0，

)到F₁、F₂两点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：椭圆C上任意一点M（x₀，y₀）到右焦点F₂的距离的最小值为1．
（3）作AB的平行线交椭圆C于P、Q两点，求弦长|PQ|的最大值，并求|PQ|取最大值时△F₁PQ的面积．

（2013•牡丹江一模）如图所示，F₁和F₂分别是双曲线

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF₁|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F₂AB是等边三角形，则离心率为（　　）