Question

已知函数f(x)=1-

3

sin2x+2cos2x．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值时的x集合；
（2）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0．求b+c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把函数解析式的第三项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后，再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域可得出f（x）的值域，进而确定出函数f（x）的最大值，根据余弦函数的图象与性质可得出取得最大值时x的范围，确定出此时x的集合；
（2）由第一问得到的解析式，根据f（A）=0，利用余弦函数的图象与性质得出A=kπ+

π

3

（k∈Z），并根据A为三角形的内角，确定出A的度数，由a，sinA的值，利用正弦定理用sinB和sinC分别表示出b与c，代入b+c中，并根据A的度数，求出B+C的度数，用B表示出C代入b+c化简后的式子中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即可确定出b+c的取值范围．

解答：（本小题满分14分）
解：（1）f（x）=1-

3

sin2x+2cos²x
=cos2x-

3

sin2x+2 （2分）
=2cos（2x+

π

3

）+2，（4分）
∵-1≤cos（2x+

π

3

）≤1，
∴0≤2cos（2x+

π

3

）+2≤4，
∴f（x）的最大值为4，（5分）
当2x+

π

3

=2kπ（k∈Z），即x=kπ-

π

6

（k∈Z）时，函数f（x）取最大值，
则此时x的集合为{x|x=kπ-

π

6

，k∈Z}；（7分）
（2）由f（A）=0得：2cos（2A+

π

3

）+2=0，即cos（2A+

π

3

）=-1，
∴2A+

π

3

=2kπ+π（k∈Z），即A=kπ+

π

3

（k∈Z），
又0＜A＜π，∴A=

π

3

，（9分）
∵a=1，sinA=

3

2

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：b=

asinB

sinA

=

2

3

sinB，c=

2

3

sinC，（10分）
又A=

π

3

，∴B+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-B，
∴b+c=

2

3

（sinB+sinC）=

2

3

[sinB+sin（

2π

3

-B）]
=

2

3

（sinB+

3

2

cosB+

1

2

sinB）
=2（

3

2

sinB+

1

2

cosB）
=2sin（B+

π

6

），（12分）
∵A=

π

3

，∴B∈（0，

2π

3

），
∴B+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴sin（B+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
则b+c的取值范围为（1，2]．（14分）

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦、余弦函数的图象与性质，正弦、余弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．