Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上任意一点P，作与实轴平行的直线，交两渐近线M、N两点，若

PM

•

PN

=2b2，则该双曲线的离心率为

6

2

．

Answer 1

分析：由双曲线的标准方程，我们不难线出双曲线的渐近线方程，又因为实轴平行的直线上各点的纵坐标相等，故设出P点坐标后，易给出M，N的坐标，进而给出对应向量的坐标，代入向量数量积坐标运算公式，即可求出

PM

•

PN

，又由

PM

•

PN

=2b2，则可得双曲线的离心率．

解答：解：设p（x，y），则过P与实轴平行的直线为y=y₀，与双曲线的两条渐近线方程 y=±

b

a

x分别联立，
解得：M(

a

b

y，y)，N(-

a

b

y，y)，
于是

PM

=(

a

b

y-x，0)，

PN

=(-

a

b

y-x，0)，
则

PM

•

PN

=(

a

b

y-x，0)•(-

a

b

y-x，0)
=(x-

a

b

y)(x+

a

b

y)=x2-

a2

b2

y2
=a2(

x2

a2

-

y2

b2

)=a2，
又由

PM

•

PN

=2b2，则a²=c²-b²=2b²，即c²=3b²，a²=2b²．
故e=

c

a

=

3 2

=

6

2

，
故答案为：

6

2

点评：本体考查双曲线的简单几何性质中的实轴，渐近线．同时考查了向量的数量积这一重要概念．