Question

△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若sin∠BAM=

1

3

，则sin∠BAC=______．

Answer 1

如图
设AC=b，AB=c，CM=MB=

a

2

，∠MAC=β，
在△ABM中，由正弦定理可得

a 2

sin∠BAM

=

c

sin∠AMB

，
代入数据可得

a 2

1 3

=

c

sin∠AMB

，解得sin∠AMB=

2c

3a

，
故cosβ=cos（

π

2

-∠AMC）=sin∠AMC=sin（π-∠AMB）=sin∠AMB=

2c

3a

，
而在RT△ACM中，cosβ=

AC

AM

=

b

( a 2 )2+b2

，
故可得

b

( a 2 )2+b2

=

2c

3a

，化简可得a⁴-4a²b²+4b⁴=（a²-2b²）=0，
解之可得a=

2

b，再由勾股定理可得a²+b²=c²，联立可得c=

3

b，
故在RT△ABC中，sin∠BAC=

BC

AB

=

a

c

=

2 b

3 b

=

6

3

，
故答案为：

6

3