Question

如图所示，点F(a,0)(a＞0),点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且·=0,+=0.

(1)求点N的轨迹C的方程；

(2)过点F(a,0)的直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于A、B两点，设点K(-a,0),与的夹角为θ，求证：0＜θ＜.

Answer 1

解：(1)设N(x,y)、M(x₀,0)、P(0,y₀),

    则=(x₀,-y₀),=(a,-y₀),=(x,y-y₀).

    由·=0,得ax₀+y₀²=0.                       ①

    由+=0，得(x+x₀,y-2y₀)=0,即所以

    代入①,得y²=4ax即为所求.

    (2)设l的方程为y=k(x-a),由消去x,得y²-y-4a²=0.

    设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则y₁y₂=-4a²,=(x₁+a,y₁),=(x₂+a,y₂),

    ·=(x₁+a)(x₂+a)+y₁y₂=x₁x₂+a(x₁+x₂)+a²+y₁y₂=+a·(+)+a²-4a²

    =(y₁²+y₂²)-2a²＞(2|y₁y₂|)-2a²=×4a²-2a²=0,所以cosθ=＞0.所以0＜θ＜.